Binärsystem

Das Binärsystem ist ein Zahlensystem, das im Gegensatz zum Dezimalsystem, das wir im Alltag benutzen, nur zwei Ziffern verwendet. Für Computer, die immer nur mit zwei Zuständen arbeiten (Strom an oder Strom aus), ist es dagegen einfacher und effizienter, im Binärsystem zu rechnen.

Einführung

Die Basis unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl 10. Wir benutzen die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl 10: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert $1=10^{0}$, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert $10=10^{1}$, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert $100=10^{2}$ usw.

Beispiel: Die Zahl hat vier Stellen und setzt sich zusammen als

$${\begin{aligned}8605&=8000+600+0+5\\&=8\cdot 1000+6\cdot 100+0\cdot 10+5\cdot 1\\&=8\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}\end{aligned}}$$

.

Die Dezimalzahl 8605 (achttausendsechshundertfünf)

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Ziffer	$8$	$6$	$0$	$5$
Stellenwert	$10^{3}=1000$	$10^{2}=100$	$10^{1}=10$	$10^{0}=1$
Wert	$8\cdot 1000=8000$	$6\cdot 100=600$	$0\cdot 10=10$	$5\cdot 10^{0}=5$

Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der Basis 2. Dieses System heißt Binärsystem und benutzt die zwei Ziffern 0 und 1. Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Zweierpotenzen: $1(=2^{0}),2(=2^{1}),4(=2^{2}),8(=2^{3}),16(=2^{4})\dots$

Beispiel: Die Zahl 10111 hat fünf Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:

Stelle	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
Ziffer	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
Stellenwert	$2^{4}=16$	$2^{3}=8$	$2^{2}=4$	$2^{1}=2$	$2^{0}=1$
Wert	$1\cdot 16=16$	$0\cdot 8=0$	$1\cdot 4=4$	$1\cdot 2=2$	$1\cdot 1=1$

lies:

$${\begin{aligned}10111&=1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}\\&=1\cdot 16+0\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1\\&=16+4+2+1=23\end{aligned}}$$

Um die Zahlen der verschiedenen Zahlensysteme unterscheiden zu können, schreibt man die Basis in der Regel dahinter: die dezimale $10111_{10}$ ist zehntausendeinhundertundelf, die binäre $10111_{2}$ ist dreiundzwanzig.

Umrechnung Binär → Dezimal

Die einfachste Möglichkeit, eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...

Ziffer	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$

... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...

Ziffer	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$
Stelligkeit	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	1

... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...

Ziffer	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$
Stelligkeit	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	1
Wert	$32$	$0$	$8$	$0$	$2$	$0$

... und diese Werte aufzusummieren: $32+0+8+0+2+0=42$.

Das Horner-Schema

Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: $2^{27}$ berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das Horner-Schema.

Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit 2.

$${\begin{aligned}{\textrm {1}}&=\color {blue}{1}\\{\color {blue}{\textrm {1}}}{\color {orange}{\textrm {0}}}&={\color {blue}{1}}\cdot 2+{\color {orange}{0}}={\color {green}{2}}\\{\color {green}{\textrm {10}}}{\color {red}{\textrm {1}}}&={\color {green}{2}}\cdot 2+{\color {red}{1}}={\color {purple}{5}}\\{\color {purple}{\textrm {101}}}{\color {royalblue}{\textrm {0}}}&={\color {purple}{\textrm {5}}}\cdot 2+{\color {royalblue}{0}}={\color {gray}{10}}\\{\color {gray}{\textrm {1010}}}{\color {orchid}{\textrm {1}}}&={\color {gray}{\textrm {10}}}\cdot 2+{\color {orchid}{1}}={\color {brown}{21}}\\{\color {brown}{\textrm {10101}}}{\color {seagreen}{\textrm {0}}}&={\color {brown}{\textrm {21}}}\cdot 2+{\color {seagreen}{0}}=42\end{aligned}}$$

Umrechnung Dezimal → Binär

Teilen mit Rest

Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.

Beispiel: $42:5=8\ {\textrm {Rest}}\ 2$ → lies: die 5 passt 8 Mal in die 42 rein, 2 bleiben als Rest übrig (weil $5\cdot 8=40$ und $42-40=2$).

Bei der Umrechnung von Dezimal- in Binärzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch 2. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch 2 und wiederholt dies, bis das Ergebnis 0 ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Binärzahl.

${\begin{aligned}123:2&=61\ {\textrm {Rest}}\ 1\\61:2&=30\ {\textrm {Rest}}\ 1\\30:2&=15\ {\textrm {Rest}}\ 0\\15:2&=7\ {\textrm {Rest}}\ 1\\7:2&=3\ {\textrm {Rest}}\ 1\\3:2&=1\ {\textrm {Rest}}\ 1\\1:2&=0\ {\textrm {Rest}}\ 1\end{aligned}}$

123 ist in binärer Schreibweise also 1111011.

Verwendung in der Informatik

Jeder Computer rechnet intern mit Binärzahlen und jede Dezimalzahl, die er vom Benutzer eingegeben bekommt oder an den Benutzer ausgeben soll, muss von ihm zunächst umgewandelt werden. Eine einzelne binäre Ziffer wird in diesem Kontext als Bit bezeichnet. In vielen Programmiersprachen ist die Speichergröße für Zahlen und andere Daten fest vorgeschrieben. Zum Beispiel ist in der Sprache Java für Ganzzahlen vom Typ int eine Größe von 32 Bit vorgesehen. Versucht man nun, eine Zahl, die sich binär nicht mit 32 Stellen oder weniger darstellen lässt, als int zu speichern, kommt es zu einem Programmfehler.

Auch andere Codierungen sind nach dem Binärschema strukturiert, zum Beispiel der ASCII-Code, mit dem Zeichen übertragen werden. Der ASCII-Code für das große A ist 65, für das kleine a 97 und für die Zahl 1 49. In Dezimalschreibweise sieht das nach sehr krummen Zahlen aus, in Binärschreibweise kann man ein Muster erkennen:

Zeichen	Dezimal	Binär
1	49	0110001
A	65	1000001
a	97	1100001

Alle vier Binärzahlen enden auf 0001 und stehen damit am Beginn eines Blocks. So kann man am Beginn eines ASCII-Binärcodes schon erkennen, was es für ein Zeichen ist: Ziffern beginnen mit 011, Großbuchstaben mit 10 und Kleinbuchstaben mit 11.

Zum Weiterlesen

• "Binärdarstellung von Zahlen" auf inf-schule.de 🇩🇪
• "Binärsystem" auf oinf.ch 🇨🇭