Dezimalsystem: Unterschied zwischen den Versionen

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Das '''Binärsystem''' ist ein Zahlensystem, das im Gegensatz zum '''[[Dezimalsystem]]''', das wir im Alltag benutzen, nur zwei Ziffern verwendet. Für Computer, die immer nur mit zwei Zuständen arbeiten (Strom an oder Strom aus), ist es dagegen einfacher und effizienter, im Binärsystem zu rechnen.
Das [[Dezimalsystem]] ist ein Zahlensystem, das zehn Ziffern verwendet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Für Menschen, die sich zum Zählen an ihren zehn Fingern orientieren, ist das ein recht intuitives System. Aber auch der ''ENIAC'', einer der ersten Computer, verarbeitete Dezimalzahlen.


== Einführung ==
== Einführung ==
Die '''Basis''' unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl 10. Wir benutzen die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl 10: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert <math>1 = 10^0</math>, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert <math>10 = 10^1</math>, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert <math>100 = 10^2</math> usw.
Die '''Basis''' des Dezimalsystems, ist die Zahl 10. Wir benutzen die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl 10: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert <math>1 = 10^0</math>, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert <math>10 = 10^1</math>, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert <math>100 = 10^2</math> usw.


'''Beispiel:''' Die Zahl  hat vier Stellen und setzt sich zusammen als<math display="block">\begin{align}
'''Beispiel:''' Die Zahl  hat vier Stellen und setzt sich zusammen als<math display="block">\begin{align}
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|<math>0 \cdot 10 = 10</math>
|<math>0 \cdot 10 = 10</math>
|<math>5 \cdot 10^0 = 5</math>
|<math>5 \cdot 10^0 = 5</math>
|}Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der '''Basis 2'''. Dieses System heißt '''Binärsystem''' und benutzt die zwei Ziffern 0 und 1. Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Zweierpotenzen: <math>1 (=2^0), 2 (=2^1), 4 (=2^2), 8 (=2^3), 16 (=2^4) \dots</math>
|}
 
'''Beispiel:''' Die Zahl 10111 hat fünf Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:
{| class="wikitable"
|+
!Stelle
!<math>2^4</math>
!<math>2^3</math>
!<math>2^2</math>
!<math>2^1</math>
!<math>2^0</math>
|-
|Ziffer
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|-
|Stellenwert
|<math>2^4 = 16</math>
|<math>2^3 = 8</math>
|<math>2^2 = 4</math>
|<math>2^1 = 2</math>
|<math>2^0 = 1</math>
|-
|Wert
|<math>1 \cdot 16 =16</math>
|<math>0 \cdot 8 = 0</math>
|<math>1 \cdot 4 = 4</math>
|<math>1 \cdot 2 = 2</math>
|<math>1 \cdot 1 = 1</math>
|}lies:<math display="block">\begin{align}
10111 &= 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0\\
&= 1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1\\
&= 16 + 4 + 2 + 1 = 23
\end{align}</math>Um die Zahlen der verschiedenen Zahlensysteme unterscheiden zu können, schreibt man die Basis in der Regel dahinter: die dezimale <math>10111_{10}</math>  ist zehntausendeinhundertundelf, die binäre <math>10111_2</math> ist dreiundzwanzig.
==Umrechnung Binär → Dezimal==
Die einfachste Möglichkeit, eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...
{| class="wikitable"
|+
!Ziffer
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
|}... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...
{| class="wikitable"
|+
!Ziffer
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
|-
|Stelligkeit
|<math>32</math>
|<math>16</math>
|<math>8</math>
|<math>4</math>
|<math>2</math>
|1
|}... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...
{| class="wikitable"
|+
!Ziffer
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
|-
|Stelligkeit
|<math>32</math>
|<math>16</math>
|<math>8</math>
|<math>4</math>
|<math>2</math>
|1
|-
|Wert
|<math>32</math>
|<math>0</math>
|<math>8</math>
|<math>0</math>
|<math>2</math>
|<math>0</math>
|}... und diese Werte aufzusummieren: <math>32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42</math>.
===Das Horner-Schema===
Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: <math>2^{27}</math> berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das [[Horner-Schema]].
 
Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit 2.
 
{{:Horner-Schema/Beispiele/Binär_nach_Dezimal}}
 
==Umrechnung Dezimal → Binär==
===Teilen mit Rest===
Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.
 
Beispiel: <math>42 : 5 = 8\ \textrm{Rest}\ 2</math> → lies: die 5 passt 8 Mal in die 42 rein, 2 bleiben als Rest übrig (weil <math>5 \cdot 8 = 40</math> und <math>42 - 40 = 2</math>).


Bei der Umrechnung von Dezimal- in Binärzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch 2. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch 2 und wiederholt dies, bis das Ergebnis 0 ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Binärzahl.
== Siehe auch ==
* [[Binärsystem]]
* [[Hexadezimalsystem]]


<math>\begin{align}
123 : 2 &= 61\ \textrm{Rest}\ 1\\
61 : 2 &= 30\ \textrm{Rest}\ 1\\
30 : 2 &= 15\ \textrm{Rest}\ 0\\
15 : 2 &= 7\ \textrm{Rest}\ 1\\
7 : 2 &= 3\ \textrm{Rest}\ 1\\
3 : 2 &= 1\ \textrm{Rest}\ 1\\
1 : 2 &= 0\ \textrm{Rest}\ 1
\end{align}</math>
123 ist in binärer Schreibweise also 1111011.
== Verwendung in der Informatik ==
Jeder Computer rechnet intern mit Binärzahlen und jede Dezimalzahl, die er vom Benutzer eingegeben bekommt oder an den Benutzer ausgeben soll, muss von ihm zunächst umgewandelt werden. Eine einzelne binäre Ziffer wird in diesem Kontext als [[Bit]] bezeichnet. In vielen Programmiersprachen ist die Speichergröße für Zahlen und andere Daten fest vorgeschrieben. Zum Beispiel ist in der Sprache [[Java (Programmiersprache)|Java]] für Ganzzahlen vom [[Datentyp|Typ]] <code>int</code> eine Größe von 32 Bit vorgesehen. Versucht man nun, eine Zahl, die sich binär nicht mit 32 Stellen oder weniger darstellen lässt, als <code>int</code> zu speichern, kommt es zu einem Programmfehler.
Auch andere Codierungen sind nach dem Binärschema strukturiert, zum Beispiel der [[ASCII]]-Code, mit dem Zeichen übertragen werden. Der ASCII-Code für das große A ist 65, für das kleine a 97 und für die Zahl 1 49. In Dezimalschreibweise sieht das nach sehr krummen Zahlen aus, in Binärschreibweise kann man ein Muster erkennen:
{| class="wikitable"
|+
!Zeichen
!Dezimal
!Binär
|-
|1
|49
|0110001
|-
|A
|65
|1000001
|-
|a
|97
|1100001
|}
Alle vier Binärzahlen enden auf 0001 und stehen damit am Beginn eines Blocks. So kann man am Beginn eines ASCII-Binärcodes schon erkennen, was es für ein Zeichen ist: Ziffern beginnen mit 011, Großbuchstaben mit 10 und Kleinbuchstaben mit 11.
[[Kategorie:Codierung]]
[[Kategorie:Codierung]]
[[Kategorie:Zahlsystem]]
[[Kategorie:Zahlsystem]]

Aktuelle Version vom 2. Mai 2024, 16:09 Uhr

Das Dezimalsystem ist ein Zahlensystem, das zehn Ziffern verwendet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Für Menschen, die sich zum Zählen an ihren zehn Fingern orientieren, ist das ein recht intuitives System. Aber auch der ENIAC, einer der ersten Computer, verarbeitete Dezimalzahlen.

Einführung

Die Basis des Dezimalsystems, ist die Zahl 10. Wir benutzen die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl 10: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert , die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert , die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert usw.

Beispiel: Die Zahl hat vier Stellen und setzt sich zusammen als

.

Die Dezimalzahl 8605 (achttausendsechshundertfünf)
Stelle Tausender Hunderter Zehner Einer
Ziffer
Stellenwert
Wert

Siehe auch

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