Zweierkomplement

Das Zweierkomplement für dreistellige Zahlen als Zahlenkreis dargestellt

Das Zweierkomplement ist eine Möglichkeit, negative Zahlen binär darzustellen ohne dafür ein besonderes Vorzeichen wie + oder - zu benötigen. Mithilfe des Zweierkomplements können nicht nur negative Zahlen beschrieben werden, sondern damit kann auch die Subtraktion als Addition umgesetzt werden, was den Aufbau von Rechenwerken erheblich vereinfacht.

Die Grundidee ist, dass man für alle Zahlen eine feste Länge annimmt und das erste Bit als Vorzeichenbit betrachtet. Üblicherweise wird 0 als positives und 1 als negatives Vorzeichen verwendet.

Bei 4 Bit langen Zahlen ist also $0111=7$ die größte positive Zahl und die Zahlen $1000,1001,\dots ,1111$ sind negativ, wobei $1000=-8$ und $1111=-1$. Warum das so ist, wird im Folgenden erklärt:

Um eine negative Zahl zu erhalten, nehme man ihr positives Gegenstück, ziehe 1 ab und invertiere dann alle Bits, d.h. aus den 0en werden 1en und umgekehrt.

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Beispiel

Wir bleiben bei 4 Bit langen Zahlen:und nehmen $0101=5$ als Beispiel. Diese $0101$ wird nun wie folgt in ihr negatives Gegenstück umgewandelt:

1. Ziehe 1 ab: $0101-1=0100$
2. Invertiere alle Bits: $0100\rightarrow 1011$

Die Zweierkomplement-Darstellung von $-5$ ist also $1011$

Allgemein können mit $n$ Bits die Zahlen von $-2^{n-1}$ bis $2^{n-1}-1$ dargestellt werden.

In modernen Computern werden typischerweise 32 oder 64 Bit als Wortlänge verwendet. Beim Programmieren hängt die Wortlänge oft vom verwendeten Datentyp ab. Zum Beispiel ist der Datentyp int für Ganzzahlen typischerweise 32 Bit lang. Wenn 1 Bit für das Vorzeichen reserviert ist, bleiben noch 31 Bits für die eigentliche Zahl übrig. Die größte Zahl, die man mit einem int darstellen kann, ist also $2^{31-1}-1=2147483647$. Was passieren kann, wenn man zu dieser Zahl 1 hinzuzuaddieren versucht, zeigen die beiden folgenden Abbildungen:

• Das oben abgebildete Programm ist in C geschrieben und addiert zum größtmöglichen Integerwert 1 hinzu. In dem Terminal unten ist die Ausgabe des Programms zu sehen.
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  2147483647 + 1 = -2147483648?!

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  In der Binärdarstellung lässt sich leichter nachvollziehen, was da passiert.

Manche Programmiersprachen wie C produzieren bei derartigen Rechenoperationen keine Fehlermeldung oder Warnung. In anderen Sprachen wie JavaScript wird Infinity als Ergebnis ausgegeben, wenn Zahlen zu groß werden. In wieder anderen Sprachen wie Python gibt es so gut wie keine Einschränkungen für die Größe von Zahlen.

Weblinks

• "Ganze Zahlen als Binärzahlen" auf inf-schule.de 🇩🇪