Binärsystem

Die Basis unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl $10$. Wir benutzen die zehn Ziffern $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl $10$: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert $1=10^0$, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert $10=10^1$, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert $100=10^2$ usw.

Beispiel: Die Zahl $8605$ hat vier Stellen und setzt sich zusammen als$$\begin{array}{rl}8605& =8000+600+0+5\\ & =8\cdot 1000+6\cdot 100+0\cdot 10+5\cdot 1\\ & =8\cdot 10^3+6\cdot 10^2+0\cdot 10^1+5\cdot 10^0\end{array}$$.

Die Dezimalzahl $8605$ (achttausendsechshundertfünf)

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Ziffer	$8$	$6$	$0$	$5$
Stellenwert	$10^3=1000$	$10^2=100$	$10^1=10$	$10^0=1$
Wert	$8\cdot 1000=8000$	$6\cdot 100=600$	$0\cdot 10=10$	$5\cdot 10^0=5$

Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der Basis 2. Dieses System heißt Binärsystem und benutzt die zwei Ziffern

$0$

und

$1$

. Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Zweierpotenzen:

$1(=2^0),2(=2^1),4(=2^2),8(=2^3),16(=2^4)\dots$

Beispiel: Die Zahl $10111$ hat fünf Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:

Stelle	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Ziffer	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
Stellenwert	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
Wert	$1\cdot 16=16$	$0\cdot 8=0$	$1\cdot 4=4$	$1\cdot 2=2$	$1\cdot 1=1$

lies:

$$\begin{array}{rl}10111& =1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0\\ & =1\cdot 16+0\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1\\ & =16+4+2+1=23\end{array}$$

Um die Zahlen der verschiedenen Zahlensysteme unterscheiden zu können, schreibt man die Basis in der Regel dahinter: die dezimale

$10111_{10}$

ist zehntausendeinhundertundelf, die binäre

$10111_2$

ist dreiundzwanzig.

Umrechnung Binär → Dezimal

Die einfachste Möglichkeit, eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...

Ziffer	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$

... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...

Ziffer	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$
Stelligkeit	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	1

... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...

Ziffer	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$
Stelligkeit	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	1
Wert	$32$	$0$	$8$	$0$	$2$	$0$

... und diese Werte aufzusummieren:

$32+0+8+0+2+0=42$

.

Das Horner-Schema

Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: $2^{27}$ berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das so genannte Horner-Schema.

Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit $2$.$$\begin{array}{rl}\text{<mn>1</mn>}& =1\\ \text{<mn>1</mn>}\text{<mn>0</mn>}& =1\cdot 2+0=2\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn></mrow>}\text{<mn>1</mn>}& =2\cdot 2+1=5\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>1</mn></mrow>}\text{<mn>0</mn>}& =\text{<mn>5</mn>}\cdot 2+0=10\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>1</mn><mn>0</mn></mrow>}\text{<mn>1</mn>}& =\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn></mrow>}\cdot 2+1=21\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>1</mn></mrow>}\text{<mn>0</mn>}& =\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mn>1</mn></mrow>}\cdot 2+0=42\end{array}$$

Umrechnung Dezimal → Binär

Teilen mit Rest

Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.

Beispiel: $$\begin{gathered} 42:5=8 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 2 \end{gathered}$$ → lies: die $5$ passt $8$ Mal in die $42$ rein, $2$ bleiben als Rest übrig (weil $5\cdot 8=40$ und $42-40=2$).

Bei der Umrechnung von Dezimal- in Binärzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch $2$. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch $2$ und wiederholt dies, bis das Ergebnis $0$ ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Binärzahl.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}123:2& =61 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 61:2& =30 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 30:2& =15 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 0\\ 15:2& =7 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 7:2& =3 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 3:2& =1 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 1:2& =0 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\end{array} \end{gathered}$$

$123$ ist in binärer Schreibweise also $1111011$.