Binärsystem

Die Basis unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl $10$. Wir benutzen die zehn Ziffern $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl $10$: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert $1=10^{0}$, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert $10=10^{1}$, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert $100=10^{2}$ usw.

Beispiel: Die Zahl $8605$ hat vier Stellen und setzt sich zusammen als

$${\begin{aligned}8605&=8000+600+0+5\\&=8\cdot 1000+6\cdot 100+0\cdot 10+5\cdot 1\\&=8\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}\end{aligned}}$$

.

Die Dezimalzahl $8605$ (achttausendsechshundertfünf)

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Ziffer	$8$	$6$	$0$	$5$
Stellenwert	$10^{3}=1000$	$10^{2}=100$	$10^{1}=10$	$10^{0}=1$
Wert	$8\cdot 1000=8000$	$6\cdot 100=600$	$0\cdot 10=10$	$5\cdot 10^{0}=5$

Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der Basis 2. Dieses System heißt Binärsystem und benutzt die zwei Ziffern $0$ und $1$. Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Zweierpotenzen: $1(=2^{0}),2(=2^{1}),4(=2^{2}),8(=2^{3}),16(=2^{4})\dots$

Beispiel: Die Zahl $10111$ hat fünf Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:

Stelle	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
Ziffer	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
Stellenwert	$2^{4}=16$	$2^{3}=8$	$2^{2}=4$	$2^{1}=2$	$2^{0}=1$
Wert	$1\cdot 16=16$	$0\cdot 8=0$	$1\cdot 4=4$	$1\cdot 2=2$	$1\cdot 1=1$

lies:

$${\begin{aligned}10111&=1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}\\&=1\cdot 16+0\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1\\&=16+4+2+1=23\end{aligned}}$$

Um die Zahlen der verschiedenen Zahlensysteme unterscheiden zu können, schreibt man die Basis in der Regel dahinter: die dezimale $10111_{10}$ ist zehntausendeinhundertundelf, die binäre $10111_{2}$ ist dreiundzwanzig.

Umrechnung Binär → Dezimal

Die einfachste Möglichkeit, eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...

Ziffer	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$

... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...

Ziffer	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$
Stelligkeit	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	1

... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...

Ziffer	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$	${\textrm {0}}$
Stelligkeit	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	1
Wert	$32$	$0$	$8$	$0$	$2$	$0$

... und diese Werte aufzusummieren: $32+0+8+0+2+0=42$.

Das Horner-Schema

Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: $2^{27}$ berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das so genannte Horner-Schema.

Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit $2$.

$${\begin{aligned}{\textrm {1}}&=\color {blue}{1}\\{\color {blue}{\textrm {1}}}{\color {orange}{\textrm {0}}}&={\color {blue}{1}}\cdot 2+{\color {orange}{0}}={\color {green}{2}}\\{\color {green}{\textrm {10}}}{\color {red}{\textrm {1}}}&={\color {green}{2}}\cdot 2+{\color {red}{1}}={\color {purple}{5}}\\{\color {purple}{\textrm {101}}}{\color {royalblue}{\textrm {0}}}&={\color {purple}{\textrm {5}}}\cdot 2+{\color {royalblue}{0}}={\color {gray}{10}}\\{\color {gray}{\textrm {1010}}}{\color {orchid}{\textrm {1}}}&={\color {gray}{\textrm {10}}}\cdot 2+{\color {orchid}{1}}={\color {brown}{21}}\\{\color {brown}{\textrm {10101}}}{\color {seagreen}{\textrm {0}}}&={\color {brown}{\textrm {21}}}\cdot 2+{\color {seagreen}{0}}=42\end{aligned}}$$

Umrechnung Dezimal → Binär

Teilen mit Rest

Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.

Beispiel: $42:5=8\ {\textrm {Rest}}\ 2$ → lies: die $5$ passt $8$ Mal in die $42$ rein, $2$ bleiben als Rest übrig (weil $5\cdot 8=40$ und $42-40=2$).

Bei der Umrechnung von Dezimal- in Binärzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch $2$. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch $2$ und wiederholt dies, bis das Ergebnis $0$ ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Binärzahl.

${\begin{aligned}123:2&=61\ {\textrm {Rest}}\ 1\\61:2&=30\ {\textrm {Rest}}\ 1\\30:2&=15\ {\textrm {Rest}}\ 0\\15:2&=7\ {\textrm {Rest}}\ 1\\7:2&=3\ {\textrm {Rest}}\ 1\\3:2&=1\ {\textrm {Rest}}\ 1\\1:2&=0\ {\textrm {Rest}}\ 1\end{aligned}}$

$123$ ist in binärer Schreibweise also $1111011$.