Binärsystem

Das Binärsystem ist ein Zahlensystem, das im Gegensatz zum Dezimalsystem, das wir im Alltag benutzen, nur zwei Ziffern verwendet. Für Computer, die immer nur mit zwei Zuständen arbeiten (Strom an oder Strom aus), ist es dagegen einfacher und effizienter, im Binärsystem zu rechnen.

Einführung

Die Basis unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl $10$. Wir benutzen die zehn Ziffern $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl $10$: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert $1=10^0$, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert $10=10^1$, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert $100=10^2$ usw.

Beispiel: Die Zahl $8605$ hat vier Stellen und setzt sich zusammen als$$\begin{array}{rl}8605& =8000+600+0+5\\ & =8\cdot 1000+6\cdot 100+0\cdot 10+5\cdot 1\\ & =8\cdot 10^3+6\cdot 10^2+0\cdot 10^1+5\cdot 10^0\end{array}$$.

Die Dezimalzahl $8605$ (achttausendsechshundertfünf)

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Ziffer	$8$	$6$	$0$	$5$
Stellenwert	$10^3=1000$	$10^2=100$	$10^1=10$	$10^0=1$
Wert	$8\cdot 1000=8000$	$6\cdot 100=600$	$0\cdot 10=10$	$5\cdot 10^0=5$

Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der Basis 2. Dieses System heißt Binärsystem und benutzt die zwei Ziffern

$0$

und

$1$

. Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Zweierpotenzen:

$1(=2^0),2(=2^1),4(=2^2),8(=2^3),16(=2^4)\dots$

Beispiel: Die Zahl $10111$ hat fünf Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:

Stelle	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Ziffer	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
Stellenwert	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
Wert	$1\cdot 16=16$	$0\cdot 8=0$	$1\cdot 4=4$	$1\cdot 2=2$	$1\cdot 1=1$

lies:

$$\begin{array}{rl}10111& =1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0\\ & =1\cdot 16+0\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1\\ & =16+4+2+1=23\end{array}$$

Um die Zahlen der verschiedenen Zahlensysteme unterscheiden zu können, schreibt man die Basis in der Regel dahinter: die dezimale

$10111_{10}$

ist zehntausendeinhundertundelf, die binäre

$10111_2$

ist dreiundzwanzig.

Umrechnung Binär → Dezimal

Die einfachste Möglichkeit, eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...

Ziffer	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$

... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...

Ziffer	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$
Stelligkeit	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	1

... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...

Ziffer	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$	$\text{<mn>1</mn>}$	$\text{<mn>0</mn>}$
Stelligkeit	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	1
Wert	$32$	$0$	$8$	$0$	$2$	$0$

... und diese Werte aufzusummieren:

$32+0+8+0+2+0=42$

.

Das Horner-Schema

Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: $2^{27}$ berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das so genannte Horner-Schema.

Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit $2$.$$\begin{array}{rl}\text{<mn>1</mn>}& =1\\ \text{<mn>1</mn>}\text{<mn>0</mn>}& =1\cdot 2+0=2\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn></mrow>}\text{<mn>1</mn>}& =2\cdot 2+1=5\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>1</mn></mrow>}\text{<mn>0</mn>}& =\text{<mn>5</mn>}\cdot 2+0=10\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>1</mn><mn>0</mn></mrow>}\text{<mn>1</mn>}& =\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn></mrow>}\cdot 2+1=21\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>1</mn></mrow>}\text{<mn>0</mn>}& =\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mn>1</mn></mrow>}\cdot 2+0=42\end{array}$$

Umrechnung Dezimal → Binär

Teilen mit Rest

Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.

Beispiel: $$\begin{gathered} 42:5=8 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 2 \end{gathered}$$ → lies: die $5$ passt $8$ Mal in die $42$ rein, $2$ bleiben als Rest übrig (weil $5\cdot 8=40$ und $42-40=2$).

Bei der Umrechnung von Dezimal- in Binärzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch $2$. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch $2$ und wiederholt dies, bis das Ergebnis $0$ ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Binärzahl.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}123:2& =61 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 61:2& =30 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 30:2& =15 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 0\\ 15:2& =7 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 7:2& =3 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 3:2& =1 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\\ 1:2& =0 \\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Rest</mrow>} \\ 1\end{array} \end{gathered}$$

$123$ ist in binärer Schreibweise also $1111011$.

Verwendung in der Informatik

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Moderne Computer rechnen intern mit Binärzahlen, die für die Interaktion mit dem Benutzer in Dezimalzahlen umgewandelt werden. An manchen Stellen macht sich das bemerkbar. Zum Beispiel ist in einigen Programmiersprachen die Anzahl der Binärziffern, die in einer Zahl benutzt werden dürfen, beschränkt. Versucht man nun, eine Zahl zu verwenden, die sich nicht mit dieser Ziffernzahl ausdrücken lässt, führt dies zu Programmfehlern.

Viele Codierungen sind nach dem Binärschema strukturiert. Beispielsweise ist der ASCII-Code für das große A 65, für das kleine a 97 und für die Zahl 1 49.