Zweierkomplement: Unterschied zwischen den Versionen

Aus KGS-Wiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung
(Gliederung, Wording)
Zeile 1: Zeile 1:
[[Datei:Zahlenkreis-Dualsystem.svg|mini|Das Zweierkomplement für dreistellige Zahlen als Zahlenkreis dargestellt]]
[[Datei:Zahlenkreis-Dualsystem.svg|mini|Das Zweierkomplement für dreistellige Zahlen als Zahlenkreis dargestellt]]
Das [[Zweierkomplement]] ist eine Möglichkeit, negative Zahlen [[Binärsystem|binär]] darzustellen ohne dafür ein besonderes Vorzeichen wie + oder - zu benötigen. Mithilfe des Zweierkomplements können nicht nur negative Zahlen beschrieben werden, sondern damit kann auch die Subtraktion als Addition umgesetzt werden, was den Aufbau von [[Von-Neumann-Rechner|Rechenwerken]] erheblich vereinfacht.
Das [[Zweierkomplement]] ist eine Möglichkeit, negative Zahlen [[Binärsystem|binär]] darzustellen ohne dafür ein besonderes Vorzeichen wie + oder - zu benötigen. Mithilfe des Zweierkomplements können nicht nur negative Zahlen beschrieben werden, sondern damit kann auch die Subtraktion als Addition umgesetzt werden, was den Aufbau von [[Von-Neumann-Rechner|Rechenwerken]] erheblich vereinfacht.
== Mathematische Grundlage ==


Die Grundidee ist, dass man für alle Zahlen eine feste Länge annimmt und das erste Bit als Vorzeichenbit betrachtet. Üblicherweise wird 0 als positives und 1 als negatives Vorzeichen verwendet.
Die Grundidee ist, dass man für alle Zahlen eine feste Länge annimmt und das erste Bit als Vorzeichenbit betrachtet. Üblicherweise wird 0 als positives und 1 als negatives Vorzeichen verwendet.
Zeile 6: Zeile 8:
Bei 4 Bit langen Zahlen ist also <math>0111 = 7</math> die größte positive Zahl und die Zahlen <math>1000, 1001, \dots, 1111</math> sind negativ, wobei <math>1000 = -8</math> und <math>1111 = -1</math>. Warum das so ist, wird im Folgenden erklärt:
Bei 4 Bit langen Zahlen ist also <math>0111 = 7</math> die größte positive Zahl und die Zahlen <math>1000, 1001, \dots, 1111</math> sind negativ, wobei <math>1000 = -8</math> und <math>1111 = -1</math>. Warum das so ist, wird im Folgenden erklärt:


Um eine negative Zahl zu erhalten, nehme man ihr positives Gegenstück, ziehe 1 ab<ref>Wenn man nicht 1 abzieht, kann man zwar immer noch jeder positiven Zahl ein negatives Gegenstück zuweisen und umgekehrt, aber dann gibt es zwei Darstellungen für die 0, nämlich <math>0000</math> und <math>1111</math> und das bringt wieder neue Probleme mit sich.</ref> und invertiere dann alle Bits, d.h. aus den 0en werden 1en und umgekehrt.
Um das Vorzeichen einer beliebigen Zahl zu ändern (egal, ob von <math>+</math> nach <math>-</math> oder umgekehrt) nehme man die Zahl, invertiere alle Bits (aus 0en werden 1en und umgekehrt) und addiere dann 1<ref>Wenn man nicht 1 addiert, kann man zwar immer noch jeder positiven Zahl ein negatives Gegenstück zuweisen und umgekehrt, aber dann gibt es zwei Darstellungen für die 0, nämlich <math>0000</math> und <math>1111</math> und das bringt wieder neue Probleme mit sich.</ref>.
{{Beispiel|1=
{{Beispiel|1=
Wir bleiben bei 4 Bit langen Zahlen:und nehmen <math>0101 = 5</math> als Beispiel. Diese <math>0101</math> wird nun wie folgt in ihr negatives Gegenstück umgewandelt:
Wir bleiben bei 4 Bit langen Zahlen und nehmen <math>0101 = 5</math> als Beispiel. Diese <math>0101</math> wird nun wie folgt in ihr negatives Gegenstück umgewandelt:
# Ziehe 1 ab: <math>0101 - 1 = 0100</math>
# Invertiere alle Bits: <math>0101 \rightarrow 1010</math>
# Invertiere alle Bits: <math>0100 \rightarrow 1011</math>
# Addiere 1: <math>1010 + 1 = 1011</math>
Die Zweierkomplement-Darstellung von <math>-5</math> ist also <math>1011</math>
Die Zweierkomplement-Darstellung von <math>-5</math> ist also <math>1011</math>
}}
}}
Zeile 16: Zeile 18:
Allgemein können mit <math>n</math> Bits die Zahlen von <math>-2^{n-1}</math> bis <math>2^{n-1}-1</math> dargestellt werden.
Allgemein können mit <math>n</math> Bits die Zahlen von <math>-2^{n-1}</math> bis <math>2^{n-1}-1</math> dargestellt werden.


In modernen Computern werden typischerweise 32 oder 64 Bit als ''Wortlänge'' verwendet. Beim Programmieren hängt die Wortlänge oft vom verwendeten [[Datentyp]] ab. Zum Beispiel ist der Datentyp <code>int</code> für Ganzzahlen typischerweise 32 Bit lang. Wenn 1 Bit für das Vorzeichen reserviert ist, bleiben noch 31 Bits für die eigentliche Zahl übrig. Die größte Zahl, die man mit einem <code>int</code> darstellen kann, ist also <math>2^{31-1}-1 = 2147483647</math>. Was passieren kann, wenn man zu dieser Zahl 1 hinzuzuaddieren versucht, zeigen die beiden folgenden Abbildungen:<gallery mode="nolines" perrow="2" widths="400" heights="300" caption="Das oben abgebildete Programm ist in [[C (Programmiersprache)|C]] geschrieben und addiert zum größtmöglichen Integerwert 1 hinzu. In dem [[Eingabeaufforderung|Terminal]] unten ist die Ausgabe des Programms zu sehen.">
== Vorteile dieser Darstellung ==
 
{{Todo|Sn}}
 
== Auswirkungen beim Programmieren ==
 
In modernen Computern werden typischerweise 32 oder 64 Bit als ''Wortlänge'' verwendet. Beim Programmieren hängt die Wortlänge oft vom verwendeten [[Datentyp]] ab. Zum Beispiel ist der Datentyp <code>int</code> für Ganzzahlen typischerweise 32 Bit lang. Wenn 1 Bit für das Vorzeichen reserviert ist, bleiben noch 31 Bits für die eigentliche Zahl übrig. Die größte Zahl, die man mit einem <code>int</code> darstellen kann, ist also <math>2^{32-1}-1 = 2147483647</math>. Was passieren kann, wenn man zu dieser Zahl 1 hinzuzuaddieren versucht, zeigen die beiden folgenden Abbildungen:
<gallery mode="nolines" perrow="2" widths="400" heights="300" caption="Das oben abgebildete Programm ist in [[C (Programmiersprache)|C]] geschrieben und addiert zum größtmöglichen Integerwert 1 hinzu. In dem [[Eingabeaufforderung|Terminal]] unten ist die Ausgabe des Programms zu sehen.">
Datei:C integer overflow decimal.png|2147483647 + 1 = -2147483648?!
Datei:C integer overflow decimal.png|2147483647 + 1 = -2147483648?!
Datei:C integer overflow binary.png|In der Binärdarstellung lässt sich leichter nachvollziehen, was da passiert.
Datei:C integer overflow binary.png|In der Binärdarstellung lässt sich leichter nachvollziehen, was da passiert.
</gallery>Manche Programmiersprachen wie C produzieren bei derartigen Rechenoperationen keine Fehlermeldung oder Warnung. In anderen Sprachen wie [[JavaScript]] wird <code>Infinity</code> als Ergebnis ausgegeben, wenn Zahlen zu groß werden. In wieder anderen Sprachen wie [[Python (Programmiersprache)|Python]] gibt es so gut wie keine Einschränkungen für die Größe von Zahlen.
</gallery>
 
Manche Programmiersprachen wie C produzieren bei derartigen Rechenoperationen keine Fehlermeldung oder Warnung. In anderen Sprachen wie [[JavaScript]] wird {{JavaScript|Infinity}} als Ergebnis ausgegeben, wenn Zahlen zu groß werden. In wieder anderen Sprachen wie [[Python (Programmiersprache)|Python]] gibt es so gut wie keine Einschränkungen für die Größe von Zahlen.


== Weblinks ==
== Weblinks ==

Version vom 26. September 2024, 12:38 Uhr

Das Zweierkomplement für dreistellige Zahlen als Zahlenkreis dargestellt

Das Zweierkomplement ist eine Möglichkeit, negative Zahlen binär darzustellen ohne dafür ein besonderes Vorzeichen wie + oder - zu benötigen. Mithilfe des Zweierkomplements können nicht nur negative Zahlen beschrieben werden, sondern damit kann auch die Subtraktion als Addition umgesetzt werden, was den Aufbau von Rechenwerken erheblich vereinfacht.

Mathematische Grundlage

Die Grundidee ist, dass man für alle Zahlen eine feste Länge annimmt und das erste Bit als Vorzeichenbit betrachtet. Üblicherweise wird 0 als positives und 1 als negatives Vorzeichen verwendet.

Bei 4 Bit langen Zahlen ist also die größte positive Zahl und die Zahlen sind negativ, wobei und . Warum das so ist, wird im Folgenden erklärt:

Um das Vorzeichen einer beliebigen Zahl zu ändern (egal, ob von nach oder umgekehrt) nehme man die Zahl, invertiere alle Bits (aus 0en werden 1en und umgekehrt) und addiere dann 1[1].

💬
Beispiel

Wir bleiben bei 4 Bit langen Zahlen und nehmen als Beispiel. Diese wird nun wie folgt in ihr negatives Gegenstück umgewandelt:

  1. Invertiere alle Bits:
  2. Addiere 1:

Die Zweierkomplement-Darstellung von ist also

Allgemein können mit Bits die Zahlen von bis dargestellt werden.

Vorteile dieser Darstellung

🏗
Baustelle

Dieser Abschnitt wird gerade von Sn überarbeitet


Auswirkungen beim Programmieren

In modernen Computern werden typischerweise 32 oder 64 Bit als Wortlänge verwendet. Beim Programmieren hängt die Wortlänge oft vom verwendeten Datentyp ab. Zum Beispiel ist der Datentyp int für Ganzzahlen typischerweise 32 Bit lang. Wenn 1 Bit für das Vorzeichen reserviert ist, bleiben noch 31 Bits für die eigentliche Zahl übrig. Die größte Zahl, die man mit einem int darstellen kann, ist also . Was passieren kann, wenn man zu dieser Zahl 1 hinzuzuaddieren versucht, zeigen die beiden folgenden Abbildungen:

  • Das oben abgebildete Programm ist in C geschrieben und addiert zum größtmöglichen Integerwert 1 hinzu. In dem Terminal unten ist die Ausgabe des Programms zu sehen.
  • 2147483647 + 1 = -2147483648?!

    2147483647 + 1 = -2147483648?!

  • In der Binärdarstellung lässt sich leichter nachvollziehen, was da passiert.

    In der Binärdarstellung lässt sich leichter nachvollziehen, was da passiert.

Manche Programmiersprachen wie C produzieren bei derartigen Rechenoperationen keine Fehlermeldung oder Warnung. In anderen Sprachen wie JavaScript wird Infinity als Ergebnis ausgegeben, wenn Zahlen zu groß werden. In wieder anderen Sprachen wie Python gibt es so gut wie keine Einschränkungen für die Größe von Zahlen.

Weblinks

Fußnoten

  1. ↑ Wenn man nicht 1 addiert, kann man zwar immer noch jeder positiven Zahl ein negatives Gegenstück zuweisen und umgekehrt, aber dann gibt es zwei Darstellungen für die 0, nämlich und und das bringt wieder neue Probleme mit sich.
Abgerufen von „https://wiki.kah.gs/index.php?title=Zweierkomplement&oldid=6519“