Hexadezimalsystem

Die Basis unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl $10$. Wir benutzen die zehn Ziffern $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl $10$: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert $1=10^{0}$, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert $10=10^{1}$, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert $100=10^{2}$ usw.

Beispiel: Die Zahl $8605$ hat vier Stellen und setzt sich zusammen als

$${\begin{aligned}8605&=8000+600+0+5\\&=8\cdot 1000+6\cdot 100+0\cdot 10+5\cdot 1\\&=8\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}\end{aligned}}$$

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Die Dezimalzahl $8605$ (achttausendsechshundertfünf)

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Ziffer	$8$	$6$	$0$	$5$
Stellenwert	$10^{3}=1000$	$10^{2}=100$	$10^{1}=10$	$10^{0}=0$
Wert	$8\cdot 1000=8000$	$6\cdot 100=600$	$0\cdot 10=10$	$5\cdot 10^{0}=5$

Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der Basis 16. Dieses System heißt Hexadezimalsystem und benutzt die sechzehn Ziffern $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,{\textrm {A}}(=10),{\textrm {B}}(=11),{\textrm {C}}(=12),{\textrm {D}}(=13),{\textrm {E}}(=14),{\textrm {F}}(=15)$. Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Sechzehnerpotenzen: $1(=16^{0}),16(=16^{1}),256(=16^{2}),4096(=16^{3})\dots$

Beispiel: Die Zahl ${\textrm {BA}}55$ hat vier Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:

Stelle	$16^{3}$	$16^{2}$	$16^{1}$	$16^{0}$
Ziffer	${\textrm {B}}$	${\textrm {A}}$	$5$	$5$
Stellenwert	$16^{3}=4096$	$16^{2}=256$	$16^{1}=16$	$16^{0}=0$
Wert	$11\cdot 4096=45056$	$10\cdot 256=2560$	$5\cdot 16=80$	$5\cdot 16^{0}=5$

lies:

$${\begin{aligned}{\textrm {BA}}55&=11\cdot 16^{3}+10\cdot 16^{2}+5\cdot 16^{1}+5\cdot 16^{0}\\&=11\cdot 4096+10\cdot 256+5\cdot 16+5\cdot 1\\&=45056+2560+80+5=47701\end{aligned}}$$

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Umrechnung Hexadezimal → Dezimal

Die einfachste Möglichkeit, eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...

Ziffer	${\textrm {B}}$	${\textrm {A}}$	${\textrm {D}}$	${\textrm {B}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$

... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...

Ziffer	${\textrm {B}}$	${\textrm {A}}$	${\textrm {D}}$	${\textrm {B}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$
Stelligkeit	$1048576$	$65536$	$4096$	$256$	$16$	1

... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...

Ziffer	${\textrm {B}}$	${\textrm {A}}$	${\textrm {D}}$	${\textrm {B}}$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$
Stelligkeit	$1048576$	$65536$	$4096$	$256$	$16$	${\textrm {1}}$
Wert	$11534336$	$655360$	$53248$	$2806$	${\textrm {0}}$	${\textrm {1}}$

... und diese Werte aufzusummieren: $11534336+655360+53248+2806+0+1=12245761$.

Das Horner-Schema

Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: $11\cdot 1048576$ berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das so genannte Horner-Schema.

Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit $16$.

$${\begin{aligned}{\textrm {B}}&=\color {blue}{11}\\{\color {blue}{\textrm {B}}}{\color {orange}{\textrm {A}}}&={\color {blue}{11}}\cdot 16+{\color {orange}{10}}={\color {green}{186}}\\{\color {green}{\textrm {BA}}}{\color {red}{\textrm {D}}}&={\color {green}{186}}\cdot 16+{\color {red}{13}}={\color {purple}{2989}}\\{\color {purple}{\textrm {BAD}}}{\color {royalblue}{\textrm {B}}}&={\color {purple}{\textrm {2989}}}\cdot 16+{\color {royalblue}{11}}={\color {gray}{47835}}\\{\color {gray}{\textrm {BADB}}}{\color {seagreen}{\textrm {0}}}&={\color {gray}{\textrm {47865}}}\cdot 16+{\color {seagreen}{0}}={\color {brown}{765360}}\\{\color {brown}{\textrm {BADB0}}}{\color {orchid}{\textrm {1}}}&={\color {brown}{\textrm {765360}}}\cdot 16+{\color {orchid}{1}}=12245761\end{aligned}}$$

Umrechnung Dezimal → Hexadezimal

Teilen mit Rest

Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.

Beispiel: $42:5=8\ {\textrm {Rest}}\ 2$ → lies: die $5$ passt $8$ Mal in die $42$ rein, $2$ bleiben als Rest übrig (weil $5\cdot 8=40$ und $42-40=2$).

Bei der Umrechnung von Dezimal- in Hexadezimalzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch $16$. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch $16$ und wiederholt dies, bis das Ergebnis $0$ ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Hexadezimalzahl.

123456 : 16 = 7716 R 0
  7716 : 16 =  482 R 4
   482 : 16 =   30 R 2
    30 : 16 =    1 R 14 (=E als Hexadezimalziffer)
     1 : 16 =    0 R 1

123456 ist in hexadezimaler Schreibweise also 1E240.