Hexadezimalsystem

Die Basis unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl 10. Wir benutzen die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl 10: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert 1 = 10⁰, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert 10 = 10¹, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert 100 = 10² usw.

Beispiel: Die Zahl 8605 hat vier Stellen und setzt sich zusammen als 8605 = 8000 + 600 + 0 + 5 =8·1000 + 6·100 + 0·10 + 5·1 = 8·10³ + 6·10² + 0·10¹ + 5·10⁰.

Die Dezimalzahl 8605 (achttausendsechshundertfünf)

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Ziffer	8	6	0	5
Stellenwert	10³ = 1000	10² = 100	10¹ = 10	10⁰ = 1
Wert	8·1000 = 8000	6·100 = 600	0·10 = 0	5·1 = 5

Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der Basis 16. Dieses System heißt Hexadezimalsystem und benutzt die 16 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A ( =10), B (=11), C (=12), D (=13), E (=14), F (=15). Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Sechzehnerpotenzen: 1 (=16⁰), 16 (=16¹), 256 (=16²) usw.

Beispiel: Die Zahl BA55 hat vier Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:

Stelle	16³	16²	16¹	16⁰
Ziffer	B	A	5	5
Stellenwert	16³ = 4096	16² = 256	16¹ = 16	16⁰ = 1
Wert	11·4096 = 45056	10·256 = 2560	5·16 = 80	5·1 = 5

lies: BA55 = 11·16³ + 10·16² + 5·16¹ + 5·16⁰ = 11·4096 + 10·256 + 5·16 + 5·1 = 45056 + 2560 + 80 + 5 = 47701.

Umrechnung Hexadezimal → Dezimal

Die einfachste Möglichkeit, eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...

Ziffer	B	A	D	B	0	1

... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...

Ziffer	B	A	D	B	0	1
Stelligkeit	1.048.576	65.536	4096	256	16	1

... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...

Ziffer	B	A	D	B	0	1
Stelligkeit	1.048.576	65.536	4096	256	16	1
Wert	11.534.336	655.360	53.248	2806	0	1

... und diese Werte aufzusummieren: 11.534.336 + 655.360 + 53.248 + 2806 + 0 + 1 = 12.245.761.

Das Horner-Schema

Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: 11 · 1.048.576 berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das so genannte Horner-Schema.

Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit 16.

B      = 11
BA     = 11     ·16 + 10 = 186
BAD    = 186    ·16 + 13 = 2989
BADB   = 2989   ·16 + 11 = 47.835
BADB0  = 47.835 ·16 + 0  = 765.360
BADB01 = 765.360·16 + 1  = 12.245.761

Umrechnung Dezimal → Hexadezimal

Teilen mit Rest

Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.

Beispiel: 42 : 5 = 8 Rest 2 → lies: die 5 passt 8 Mal in die 42 rein, 2 bleiben als Rest übrig (weil 5·8=40 und 42-40=2).

Bei der Umrechnung von Dezimal- in Hexadezimalzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch 16. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch 16 und wiederholt dies, bis das Ergebnis 0 ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Hexadezimalzahl.

123456 : 16 = 7716 R 0
  7716 : 16 =  482 R 4
   482 : 16 =   30 R 2
    30 : 16 =    1 R 14 (=E als Hexadezimalziffer)
     1 : 16 =    0 R 1

123456 ist in hexadezimaler Schreibweise also 1E240.