Formale Grammatik

Eine formale Grammatik ist ein mathematisches Werkzeug, um formale Sprachen zu beschreiben.

Eine Grammatik besteht aus einer Reihe von Regeln, nach denen sich die Wörter der Sprache ableiten lassen. Zusätzlich zu den Symbolen des Alphabets der Sprache, die hier Terminalsymbole genannt werden, werden hier noch so genannte Nicht-Terminalsymbole eingeführt. Wenn alle Nicht-Terminalsymbole nach den Regeln der Grammatik zu den Terminalsymbolen eines Wortes abgeleitet werden können, entspricht dieses Wort den Regeln der Grammatik und gehört damit zu der dazugehörigen Sprache. Jede Regel entspricht der Form X ::= Y, lies: "X kann zu Y abgeleitet werden". X muss dabei ein Nichtterminalsymbol sein, Y darf beliebig viele Nicht- und Terminalsymbole enthalten.

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Beispiel

<RoemischeZahl> ::= <Tausender> <Hunderter> <Zehner> <Einer>
<Tausender>     ::= M <Tausender> | ε
<Hunderter>     ::= C | CC | CCC | CD | D | DC | DCC | DCCC | CM | ε
<Zehner>        ::= X | XX | XXX | XL | L | LX | LXX | LXXX | XC | ε
<Einer>         ::= I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | ε

Diese Regeln bedeuten Folgendes:

1. Eine <RoemischeZahl> besteht aus einer <Tausender>-, einer <Hunderter>-, einer <Zehner>- und einer <Einer>-Stelle in dieser Reihenfolge.
2. Die <Tausender>-Stelle ist entweder leer – dafür steht das ε – oder besteht aus einem M, gefolgt von noch mehr <Tausender>n, die aber auch leer sein dürfen. Der senkrechte Strich | steht für das oder.
3. Die <Hunderter>-Stelle ist entweder ein C, ein CC, ... ein CM oder leer.
4. Die <Zehner> und die <Einer> funktionieren genau wie die Hunderter.

Syntax

Syntaxelement	Erläuterung
<Symbol>	Nichtterminalsymbole setzt man in spitze Klammern.
Sekt | Selters	Der senkrechte Strich trennt zwei Optionen, von denen nur eine gewählt werden kann.
ε	ε steht für das leere Symbol, das Nichts.
<A> ::= ???	Ersetze <A> durch ???

⚠️

Achtung

Das leere Symbol ε ist kein Leerzeichen! ε bedeutet, dass an dieser Stelle gar kein Zeichen steht und das Leerzeichen ist ein Zeichen!

Ableitung von Wörtern aus den Regeln

Durch wiederholte Anwendung der Regeln einer Grammatik kann aus einem Nichtterminalsymbol ein vollständiges Wort abgeleitet werden, das keine Nichtterminalsymbole mehr enthält, z.B. aus dem Nichtterminalsymbol <RoemischeZahl> das Wort MMXXIII.

Ableitungsschritt von...		... nach...	Angewandte Regel
<RoemischeZahl>	→	<Tausender><Hunderter><Zehner><Einer>	<RoemischeZahl> ::= <T><H><Z><E>
<Tausender><Hunderter><Zehner><Einer>	→	M<Tausender><Hunderter><Zehner><Einer>	<Tausender> ::= M<Tausender>
M<Tausender><Hunderter><Zehner><Einer>	→	MM<Tausender><Hunderter><Zehner><Einer>	<Tausender> ::= M<Tausender>
MM<Tausender><Hunderter><Zehner><Einer>	→	MM<Hunderter><Zehner><Einer>	<Tausender> ::= ε
MM<Hunderter><Zehner><Einer>	→	MM<Zehner><Einer>	<Hunderter> ::= ε
MM<Zehner><Einer>	→	MMXX<Einer>	<Zehner> ::= XX
MMXX<Einer>	→	MMXXIII	<Einer> ::= III

Die Reihenfolge dieser Ableitungsschritte ist nicht fest, man hätte auch zuerst die <Einer> zu III ableiten können.

Zur Visualisierung der Ableitung zeichnet man Ableitungsbäume:

graph TD rz("<code>&lt;RoemischeZahl&gt;</code>") --- t1("<code>&lt;Tausender&gt;</code>") & h("<code>&lt;Hunderter&gt;</code>") & z("<code>&lt;Zehner&gt;</code>") & e("<code>&lt;Einer&gt;</code>") t1 --- m1("<strong><code>M</code></strong>") t1 --- t2("<code>&lt;Tausender&gt;</code>") t2 --- m2("<strong><code>M</code></strong>") t2 --- t3("<code>&lt;Tausender&gt;</code>") t3 --- eps1("<code>ε</code>") h --- eps2("<code>ε</code>") z --- xx("<strong><code>XX</code></strong>") e --- iii("<strong><code>III</code></strong>") classDef node stroke:none,fill:none;

Die letztendlich abgeleiteten Terminalsymbole stehen dann unten in den Blättern des Baumes.

Zum Weiterlesen

• "Sprachbeschreibungen mit Grammatiken" auf inf-schule.de 🇩🇪