Hexadezimalsystem: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 18. Januar 2023, 18:00 Uhr
Die Basis unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl 10. Wir benutzen die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl 10: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert 1 = 10⁰, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert 10 = 10¹, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert 100 = 10² usw.
Beispiel: Die Zahl 8605 hat vier Stellen und setzt sich zusammen als 8605 = 8000 + 600 + 0 + 5 =8·1000 + 6·100 + 0·10 + 5·1 = 8·10³ + 6·10² + 0·10¹ + 5·10⁰.
| Stelle | Tausender | Hunderter | Zehner | Einer |
|---|---|---|---|---|
| Ziffer | 8 | 6 | 0 | 5 |
| Stellenwert | 10³ = 1000 | 10² = 100 | 10¹ = 10 | 10⁰ = 1 |
| Wert | 8·1000 = 8000 | 6·100 = 600 | 0·10 = 0 | 5·1 = 5 |
Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der Basis 16. Dieses System heißt Hexadezimalsystem und benutzt die 16 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A ( =10), B (=11), C (=12), D (=13), E (=14), F (=15). Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Sechzehnerpotenzen: 1 (=16⁰), 16 (=16¹), 256 (=16²) usw.
Beispiel: Die Zahl BA55 hat vier Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:
| Stelle | 16³ | 16² | 16¹ | 16⁰ |
|---|---|---|---|---|
| Ziffer | B | A | 5 | 5 |
| Stellenwert | 16³ = 4096 | 16² = 256 | 16¹ = 16 | 16⁰ = 1 |
| Wert | 11·4096 = 45056 | 10·256 = 2560 | 5·16 = 80 | 5·1 = 5 |
lies: BA55 = 11·16³ + 10·16² + 5·16¹ + 5·16⁰ = 11·4096 + 10·256 + 5·16 + 5·1 = 45056 + 2560 + 80 + 5 = 47701.
Umrechnung Hexadezimal → Dezimal
Die einfachste Möglichkeit, eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...
| Ziffer | B | A | D | B | 0 | 1 |
|---|
... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...
| Ziffer | B | A | D | B | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Stelligkeit | 1.048.576 | 65.536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...
| Ziffer | B | A | D | B | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Stelligkeit | 1.048.576 | 65.536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
| Wert | 11.534.336 | 655.360 | 53.248 | 2806 | 0 | 1 |
... und diese Werte aufzusummieren: 11.534.336 + 655.360 + 53.248 + 2806 + 0 + 1 = 12.245.761.
Das Horner-Schema
Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: 11 · 1.048.576 berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das so genannte Horner-Schema.
Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit 16.
B = 11 BA = 11 ·16 + 10 = 186 BAD = 186 ·16 + 13 = 2989 BADB = 2989 ·16 + 11 = 47.835 BADB0 = 47.835 ·16 + 0 = 765.360 BADB01 = 765.360·16 + 1 = 12.245.761
Umrechnung Dezimal → Hexadezimal
Teilen mit Rest
Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.
Beispiel: 42 : 5 = 8 Rest 2 → lies: die 5 passt 8 Mal in die 42 rein, 2 bleiben als Rest übrig (weil 5·8=40 und 42-40=2).
Bei der Umrechnung von Dezimal- in Hexadezimalzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch 16. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch 16 und wiederholt dies, bis das Ergebnis 0 ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Hexadezimalzahl.
123456 : 16 = 7716 R 0
7716 : 16 = 482 R 4
482 : 16 = 30 R 2
30 : 16 = 1 R 14 (=E als Hexadezimalziffer)
1 : 16 = 0 R 1
123456 ist in hexadezimaler Schreibweise also 1E240.
