Quelltext der Seite Hexadezimalsystem

Die '''Basis''' unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems, ist die Zahl <math>10</math>. Wir benutzen die zehn Ziffern <math>0,1,2,3,4,5,6,7,8,9</math>und der Wert jeder Stelle ergibt sich aus Potenzen der Zahl <math>10</math>: die ganz linke Stelle, die Einerstelle hat den Stellenwert <math>1 = 10^0</math>, die nächste Stelle, die Zehnerstelle, den Stellenwert <math>10 = 10^1</math>, die nächsthöhere Stelle hat den Stellenwert <math>100 = 10^2</math> usw.

'''Beispiel:''' Die Zahl <math>8605</math> hat vier Stellen und setzt sich zusammen als <math display="block">\begin{align}
8605 &= 8000+600+0+5\\
&= 8 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5 \cdot 1 \\
&= 8 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0
\end{align}</math>.
{| class="wikitable"
|+Die Dezimalzahl <math>8605</math> (achttausendsechshundertfünf)
!Stelle
!Tausender
!Hunderter
!Zehner
!Einer
|-
|Ziffer
|<math>8</math>
|<math>6</math>
|<math>0</math>
|<math>5</math>
|-
|Stellenwert
|<math>10^3 = 1000</math>
|<math>10^2 = 100</math>
|<math>10^1 = 10</math>
|<math>10^0 = 0</math>
|-
|Wert
|<math>8 \cdot 1000 = 8000</math>
|<math>6 \cdot 100 = 600</math>
|<math>0 \cdot 10 = 10</math>
|<math>5 \cdot 10^0 = 5</math>
|}
Wir können aber auch Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen, z.B. mit der '''Basis 16'''. Dieses System heißt '''Hexadezimalsystem''' und benutzt die sechzehn Ziffern <math>0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \textrm{A} ( =10), \textrm{B} (=11), \textrm{C} (=12), \textrm{D} (=13), \textrm{E} (=14), \textrm{F} (=15)</math>. Die Stellenwerte berechnen sich entsprechend nach Sechzehnerpotenzen: <math>1 (=16^0), 16 (=16^1), 256 (=16^2), 4096 (=16^3) \dots</math>

'''Beispiel:''' Die Zahl <math>\textrm{BA}55</math> hat vier Stellen und setzt sich folgendermaßen zusammen:
{| class="wikitable"
|+
!Stelle
!<math>16^3</math>
!<math>16^2</math>
!<math>16^1</math>
!<math>16^0</math>
|-
|Ziffer
|<math>\textrm{B}</math>
|<math>\textrm{A}</math>
|<math>5</math>
|<math>5</math>
|-
|Stellenwert
|<math>16^3 = 4096</math>
|<math>16^2 = 256</math>
|<math>16^1 = 16</math>
|<math>16^0 = 0</math>
|-
|Wert
|<math>11 \cdot 4096 = 45056</math>
|<math>10 \cdot 256 = 2560</math>
|<math>5 \cdot 16 = 80</math>
|<math>5 \cdot 16^0 = 5</math>
|}
lies: <math display="block">\begin{align}
\textrm{BA}55 &= 11 \cdot 16^3 + 10 \cdot 16^2 + 5 \cdot 16^1 + 5 \cdot 16^0\\
&= 11 \cdot 4096 + 10 \cdot 256 + 5 \cdot 16 + 5 \cdot 1\\
&= 45056 + 2560 + 80 + 5 = 47701
\end{align}</math>.

== Umrechnung Hexadezimal → Dezimal ==
Die einfachste Möglichkeit, eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, ist, die Zahl ziffernweise aufzuschreiben...
{| class="wikitable"
|+
!Ziffer
!<math>\textrm{B}</math>
!<math>\textrm{A}</math>
!<math>\textrm{D}</math>
!<math>\textrm{B}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
|}
... unter jede Ziffer die Stelligkeit zu notieren...
{| class="wikitable"
|+
!Ziffer
!<math>\textrm{B}</math>
!<math>\textrm{A}</math>
!<math>\textrm{D}</math>
!<math>\textrm{B}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
|-
|Stelligkeit
|<math>1048576</math>
|<math>65536</math>
|<math>4096</math>
|<math>256</math>
|<math>16</math>
|1
|}
... für jede Stelle ihren Wert auszurechnen...
{| class="wikitable"
|+
!Ziffer
!<math>\textrm{B}</math>
!<math>\textrm{A}</math>
!<math>\textrm{D}</math>
!<math>\textrm{B}</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
|-
|Stelligkeit
|<math>1048576</math>
|<math>65536</math>
|<math>4096</math>
|<math>256</math>
|<math>16</math>
!<math>\textrm{1}</math>
|-
|Wert
|<math>11534336</math>
|<math>655360</math>
|<math>53248</math>
|<math>2806</math>
!<math>\textrm{0}</math>
!<math>\textrm{1}</math>
|}
... und diese Werte aufzusummieren: <math>11534336 + 655360 + 53248 + 2806 + 0 + 1 = 12245761</math>.

=== Das Horner-Schema ===
Diese Methode birgt aber das Risiko, sich zu verrechnen oder zu vertippen: <math>11 \cdot 1048576</math> berechnet man nicht eben im Kopf und beim Eintippen in den Taschenrechner passiert schnell ein Zahlendreher. Eine andere Methode ist das so genannte '''Horner-Schema'''.

Hierbei liest man die Zahl ziffernweise von links nach rechts und multipliziert vor jeder neu hinzukommenden Ziffer den Zwischenstand mit <math>16</math>.

<math display="block">\begin{align}
\textrm{B} &= \color{blue}{11}\\
{\color{blue}{\textrm{B}}}{\color{orange}{\textrm{A}}} &= {\color{blue}{11}} \cdot 16 + {\color{orange}{10}} = {\color{green}{186}}\\
{\color{green}{\textrm{BA}}}{\color{red}{\textrm{D}}} &= {\color{green}{186}} \cdot 16 + {\color{red}{13}} = {\color{purple}{2989}}\\
{\color{purple}{\textrm{BAD}}}{\color{royalblue}{\textrm{B}}} &= {\color{purple}{\textrm{2989}}} \cdot 16 + {\color{royalblue}{11}} = {\color{gray}{47835}}\\
{\color{gray}{\textrm{BADB}}}{\color{seagreen}{\textrm{0}}} &= {\color{gray}{\textrm{47865}}} \cdot 16 + {\color{seagreen}{0}} = {\color{brown}{765360}}\\
{\color{brown}{\textrm{BADB0}}}{\color{orchid}{\textrm{1}}} &= {\color{brown}{\textrm{765360}}} \cdot 16 + {\color{orchid}{1}} = 12245761
\end{align}</math>
== Umrechnung Dezimal → Hexadezimal ==

=== Teilen mit Rest ===
Bevor man mit Brüchen rechnet, lernt man in der Grundschule, mit Rest zu teilen. Das Ergebnis der Division besteht dann aus zwei Zahlen: dem Ergebnis, das dem Teil vor dem Komma des eigentlichen Ergebnisses entspricht, und einem Rest, der nicht mehr ganzzahlig weitergeteilt werden kann.

Beispiel: <math>42 : 5 = 8\ \textrm{Rest}\ 2</math> → lies: die <math>5</math> passt <math>8</math> Mal in die <math>42</math> rein, <math>2</math> bleiben als Rest übrig (weil <math>5 \cdot 8 = 40</math> und <math>42 - 40 = 2</math>).

Bei der Umrechnung von Dezimal- in Hexadezimalzahlen teilt man nun die Dezimalzahl mit Rest durch <math>16</math>. Das Ergebnis teilt man wieder mit Rest durch <math>16</math> und wiederholt dies, bis das Ergebnis <math>0</math> ist. Die Reste ergeben dann, von unten nach oben gelesen, die Ziffern der Hexadezimalzahl.
 123456 : 16 = 7716 R 0
   7716 : 16 =  482 R 4
    482 : 16 =   30 R 2
     30 : 16 =    1 R 14 (=E als Hexadezimalziffer)
      1 : 16 =    0 R 1
123456 ist in hexadezimaler Schreibweise also 1E240.
[[Kategorie:Zahlsystem]]
[[Kategorie:Codierung]]